數形結合在數學中的妙用論文

數形結合在數學中的妙用論文

　　數形結合思想是數學中的一種非常重要的數學思想，在解題中運用數形結合，常常可以優化解題思路，簡化解題過程。但問題在解題過程中如何進行數形結合呢？即怎樣催化數與形的結合呢？最好的方法就是運用數形結合的催化劑——聯想，運用聯想不但可以催化數與形的結合，而且可以培養我們的創新思維和創新能力。

　　一、數形結合在函數中的妙用

　　在函數教學中，函數及其圖象為數形結合的教學開辟了廣闊的天地。函數的圖象是從“形”的角度反映變量之間的變化規律，利用圖象的直觀性有助于題意的理解、性質的討論、思路的探求和結果的驗證。如二次函數、指數函數和對數函數等等，根據函數圖象討論函數的性質，借助函數圖象的直觀解決實際問題，使學生學得輕松有趣。既可以提高學生的識記能力，又可以加深對函數的圖象和性質的理解，使數與形在學生的頭腦中密切地結合起來。如：

　　例1：判斷下式中x的正負2x=1.2

　　分析：考察指數函數y=2x，因 a=2>1，在定義域(-∞，+∞)上是增函數，故畫出草圖，從圖中可知，該函數在區間(0，+∞)上有y>1。

　　因此，從2x=1.2>1可知x>0。

　　例2：由函數與函數 y = 2 的圖象圍成一個封閉圖形，這個封閉圖形的面積是_______．

　　分析：本題不能直接求解（高中階段沒有此類圖形的面積公式），初看好象是偏題、怪題，但如果借助于圖形的對稱性并利用割補法，則可將之轉化為一個等積矩形的面積問題．學生可直接看出答案。

　　解題回顧：本題利用了數形結合方法計算面積．圖象的對稱性可以使棘手的問題簡單化，轉化為常規的問題，體現了數學中把未知轉化為已知的思想方法。

　　二、數形結合在復數中的妙用

　　作為解題方法，“數形結合”實際上包含兩方面的含義：一方面對“形”的問題，y引入坐標系或尋找其數量關系式，用“數”的分析加以解決；另一方面對于數量間的關系問題，分析其幾何意義，借助形的直觀來解。解與復數有關的最值問題時，利用復數的幾何色彩，將使解題過程更為巧妙。

　　三、數形結合在不等式中的妙用

　　某些看似單純的數量關系的代數問題，如果能注意到它所包含的幾何意義，或者設計出一個與之相關的幾何模型則可能找到新穎別致的解法，借助“形”使我們對問題本身不但有直觀的分析，且能有更深刻和實質的了解。

　　例4：不等式的解集是

　　分析：如果按照一般的常規解法，該題較繁雜，若轉化為圖形處理，以形輔數就方便多了。可令，y2=x+2，在同一坐標系中分別作出它們的函數圖象。已知原不等式有意義的x值為-2≤x≤2，從圖象中觀察可見，使y1>y2成立的取值范圍是(-2,0)。

　　四、數形結合在證明中的應用

　　例5: 設a,b,c為ΔABC的三邊的長，求證

　　分析：用證明不等式的一般方法證明結論較為繁瑣．由左邊諸分母的結構形式，可聯想到構造的內切圓，利用圖就可以將左邊化簡，于是原不等式可證．

　　證明：設⊙O為ΔABC的內切圓，則有

　　于是結論得證。

　　例6：設D為ΔABC邊上一點，而BD=2DC，

　　求證：AB2+2AC2=3AD2+6CD2

　　分析：若單從幾何角度看，已知條件和論證的目標相距較遠，不易下手。如果我們建立如圖所示的直角坐標系，使數形結合，綜合應用解決。可設四點的坐標分別是A(x,y)，B(-2a,0)，C(a,0)，D(0,0)，則有： |AB|2+2|AC|2=[(x+2a)2+y2]+2[(x-a)2+y2]=3(x2+y2)+6a2

　　3|AD|2+6|CD|2=3(x2+y2)+6a2

　　即可證得：|AB|2+2|AC|2=3|AD|2+6|CD|2

　　綜上所述可見，數形結合是學好數學的一把鑰匙。它可將一些看似復雜的問題變得非常簡單，也常使一些難于下手的問題迎刃而解。利用圖形的直觀性解題，巧妙地簡化了大量繁雜的計算和邏輯推理過程，構思新穎，解題簡潔。其方法的豐富內涵對培養與發展學生的思維能力、解題能力極為有用，也有助于增強學生的數素養，因而這種方法在數學教學中應給予足夠重視。

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